Xét ΔIAB và ΔICD có

góc IAB=góc ICD
goc AIB=góc CID

=>ΔIAB đồng dạng với ΔICD

=>IB/ID=AB/CD=BM/MC

=>IM//DC

=>IM vuông góc AD

HOI KHO ^.^

Khó quá

Căng

a.

DO ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACD}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{EBN}\)

Mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{EBN}\) cùng chắn EN

\(\Rightarrow\) Tứ giác BENC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BCN}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BEN}=180^0-\widehat{BCN}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow NE\perp BM\) tại E

b.

Tương tự ta có tứ giác ABFM nội tiếp (\(\widehat{MAF}=\widehat{MBF}=45^0\) cùng chắn MF)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}+\widehat{BAM}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\)

\(\Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác BMN

\(\Rightarrow BI\perp MN\)

c.

Gọi H là giao điểm BI và MN

Do E và F cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông 

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFMN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EMN}+\widehat{EFN}=180^0\)

Mà \(\widehat{EFN}+\widehat{EFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{EFB}\)

Lại có tứ giác ABFM nội tiếp (A và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{AMB}\) (cùng chắn AB)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\Delta_VAMB=\Delta_VHMB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AM=HM\)

Đồng thời suy ra \(AB=BH\Rightarrow BH=BC\) (do AB=BC)

Theo Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}HN=\sqrt{BN^2-BH^2}\\CN=\sqrt{BN^2-BC^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CN=HN\)

\(\Rightarrow AM+CN=MH+NH=MN\)

\(\Rightarrow MD+DN+MN=MD+DN+AM+CN=AD+CD=2a\)

Pitago: \(MN^2=DM^2+DN^2\ge\dfrac{1}{2}\left(DM+DN\right)^2\Rightarrow MN\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a-\left(DM+DN\right)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)

\(\Rightarrow2a\ge\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\left(DM+DN\right)\ge\left(2+\sqrt{2}\right).\sqrt{DM.DN}\)

\(\Rightarrow DM.DN\le\left(6-4\sqrt{2}\right)a^2\)

\(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}DM.DN\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(DM=DN=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)a\)

Đặt cạnh hình vuông là a, ta có \(BD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow BO.BD=a^2\)

Xét 2 tam giác vuông AED và MAB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADE}=\widehat{MBA}=90^0\\\widehat{AED}=\widehat{MAB}\left(slt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta MAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BM}=\dfrac{ED}{AB}\Rightarrow BM.ED=AD.AB=a^2\)

\(\Rightarrow BM.ED=BO.BD\)

Mà \(ED=BF\) (do \(BC=CD\) và \(CE=CF\))

\(\Rightarrow BM.BF=BO.BD\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BO}{BF}\)

Xét hai tam giác BOM và BFD có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BO}{BF}\\\widehat{OBM}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BOM\sim\Delta BFD\left(c.g.c\right)\)

Sửa đề: TANC là hình thang vuông

Xét tứ giác TANC có TN//AC

nên TANC là hình thang

mà góc CAT=90 độ

nên TANC là hình thang vuông

Mình làm câu c thôi ( câu a,b mấy trang khác có nha). Hình mn tự vẽ nha.

Theo b, có: Tam giác DCE là tam giác đều 

=> DCE=CDE=DEC=60

Xét tam giác CND:

Áp dụng định lí:" Tổng ba góc một tam giác bằng 180"

=>CND+CDN+DCN=180

=>CND+60+10=180 (vì ICD=10; CDE= 60)

=>CND=180-70=110 (1)

Xét tam giác CNE:

Áp dụng định lí:"Tổng ba góc một tam giác bằng 180"

=>CNE+CEN+NCE=180

=>CNE+60+(ACB+ECF)=180

=>CNE+60+30+20=180

=>CNE+110=180

=>CNE=70 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CND+CNE=70+110=180

=>DNE=180    =>DNE là góc bẹt

=>D; N; E thẳng hàng (ĐPCM)